매일학습
2020-09-24 (목) - day26
uhoohu
2020. 9. 24. 23:33
MIT 18.065 - 3. Orthonormal Columns in Q Give Q'Q = I
- $Q^TQ=I$
- $Q$는 orthonormal columns를 가지고 있음
- $Q$가 square이면 $QQ^T=I$
- $Q$가 square이면 orthogonal matrix 라고 부름 (q가 orthonormal인데 orthonormal matrix라곤 안함..)
- $Q$가 벡터에 곱해져도 길이 안변함. $\left \| Qx \right \| = \left \| x \right \|$ , 길이 제곱이 같다고 놓으면 쉽게 증명 됨
- Square $Q$
- $Q^T = Q^{-1}$
- 이어서 square $Q$의 여러 사례들을 살펴봄
- Rotation
- $$ Q= \begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} $$
- Reflection Matrix (12:00)
- $$ Q= \begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ sin\theta & -cos\theta \end{bmatrix} $$
- 어디에 반사가 된다는거지?
- Householder reflections (15:00)
- $uu^T = 1$ 에서 시작
- $H = I - 2uu^T$
- symmetric orthoronal matrix
- $I$, $uu^T$ 각각이 대칭이므로 symmetric
- check orthogonality
$ H^TH = HH = (I - 2uu^T)(I - 2uu^T) = I - 4uu^T + 4uu^Tuu^T = I - 4uu^T + 4uu^T = I$ - orthogonalization 할때 gram schmidt 보다 좋다고 함..
확인할 것
- A=QR 알아두기
- Reflection 다시보기